已知f(x)=loga
1-mxx-1
(a>0,a≠1)是奇函數(shù).
(1)求m的值;
(2)討論f(x)的單調性.
分析:(1)利用奇函數(shù)的定義列出方程恒成立,化簡方程求出m的值,將m的值代入對數(shù)函數(shù)的真數(shù),驗真數(shù)是否大于0.
(2)利用導數(shù)的運算法則求出f′(x),通過討論a,判斷出導數(shù)的正負,判斷出函數(shù)的單調性.
解答:解:(1)∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(-x)+f(x)=loga
1+mx
-x-1
+loga
1-mx
x-1
=loga
1- m2x2
1-x2
對定義域內的任意x恒成立,
1-m2x2
1-x2
=1,
∴(m2-1)x2=0,m=±1.
當m=1時,
1-mx
x-1
=-1,函數(shù)無意義,
∴m=-1.
(2)由(1)知,f(x)=loga
x+1
x-1
,∴定義域為(-∞,-1)∪(1,+∞),
求導得f′(x)=
-2
x2-1
lna

①當a>1時,f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)與(1,+∞)內都是減函數(shù);
②當0<a<1時,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-1)與(1,+∞)上都是增函數(shù).
點評:本題考查奇函數(shù)的定義、考查通過導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=
log
(4x+1)
4
+kx是偶函數(shù),其中x∈R,且k為常數(shù).
(1)求k的值;
(2)記g(x)=4f(x)求x∈[0,2]時,函數(shù)個g(x)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)為R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=3x,那么f(log
 
4
1
2
)的值為
-9
-9

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)是定義域為R上的奇函數(shù),且當x>0時有f(x)=log 
110
x

(1)求f(x)的解析式;  
(2)解不等式f(x)≤2.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=log 
1
4
x,那么f(-
1
2
)的值是(  )
A、
1
2
B、-
1
2
C、2
D、-2

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知f(x)=
log(4x+1)4
+kx是偶函數(shù),其中x∈R,且k為常數(shù).
(1)求k的值;
(2)記g(x)=4f(x)求x∈[0,2]時,函數(shù)個g(x)的最大值.

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