Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，（x∈R）．
（1）求f（x）在點（1，e）處的切線方程；
（2）證明：曲線y=f（x）與曲線y=

1

2

x²+x+1有唯一公共點；
（3）設a＜b，比較f（

a+b

2

）與

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)得出切線的斜率即可得出f（x）在點（1，e）處的切線方程；
（2）令h（x）=f（x）-（

1

2

x²+x+1）=e^x-

1

2

x²-x-1，利用導數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調性即可得出．
（3）利用作差法，再構造函數(shù)，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用導數(shù)研究其單調性即可證明．

解答： （1）解：f′（x）=e^x，則f'（1）=e，f（x）點（1，e）處的切線方程為：y-e=e（x-1），y=ex；
（2）證明：令 h(x)=f(x)-

1

2

x2-x-1=ex-

1

2

x2-x-1，x∈R，則h′（x）=e^x-x-1，h″（x）=e^x-1，且h（0）=0，h′（0）=0，h″（0）=0
因此，當x＜0時，h″（x）＜0，y=h′（x）單調遞減；當x＞0時，h″（x）＞0，y=h′（x）單調遞增．
所以y=h′（x）≥h′（0）=0，所以y=h（x）在R上單調遞增，又h（0）=0，即函數(shù)h（x）有唯一零點x=0，
所以曲線y=f（x）與曲線y=

1

2

x2+x+1有唯一公共點（0，1）；
（3）解：設a＜b，
f（

a+b

2

）-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-2+a)  +(b-2+a)eb-a•ea

2(b-a)

，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），則g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上單調遞增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，g（x）＞0．
∵當x＞0時，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，∴

(b-2+a)  +(b-2+a)eb-a•ea

2(b-a)

＞0，
即f（

a+b

2

）＞

f(b)-f(a)

b-a

．

點評：本題綜合考查了利用導數(shù)研究切線、單調性、方程得根的個數(shù)、比較兩個實數(shù)的大小等基礎知識，考查了分類討論的思想方法、轉化與化歸思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．