Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，sin4x），$\overrightarrow$=（cos4x，1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）作f（x）在一個(gè)周期的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求出f（x）的表達(dá)式并化簡(jiǎn)，利用T=$\frac{2π}{ω}$求出T，再由函數(shù)單調(diào)性求出最大值；
（2）利用正弦型函數(shù)單調(diào)性，整體代入求出其單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）畫(huà)出其一個(gè)周期函數(shù)圖象．

解答 解：（1）由題意得：
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
所以T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，
f（x）_max=2；
（2）因?yàn)楫?dāng)$-\frac{π}{2}+2kπ≤$4x+$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）即$-\frac{5π}{24}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{π}{24}+\frac{kπ}{2}$（k∈Z）時(shí)，y=f（x）單調(diào)增，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為[$-\frac{5π}{24}+\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}+\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）；
（3）函數(shù)圖象如下：

點(diǎn)評(píng) （1）本題主要考察向量坐標(biāo)運(yùn)算和輔助角公式，難度中檔；（2）本題解題關(guān)鍵是利用整體代入求出x的取值范圍，屬于三角函數(shù)常見(jiàn)題型．