Question

已知：如圖，ABCD是邊長為2的正方形， PC⊥面ABCD，PC=2，E、F是AB、AD中點(diǎn)。

求：點(diǎn)B到平面PEF的距離。

Answer 1

解析:

由BD∥EF可證DB∥平面PEF，則點(diǎn)B到平面PEF的距離轉(zhuǎn)化為直線與平面PEF的距離。又由平面PCA垂直平面PEF，故DB與AC的交點(diǎn)到兩垂直平面的交線的距離為所求距離。

方法一：連接DB，AC交于O點(diǎn)，設(shè)AC交EF于G，連PG，

作OH⊥PG，H為垂足。

∵E、F是AB、AD中點(diǎn)，∴EF∥DB，∴DB∥面PEF，

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC，

∵PC⊥面ABCD，∴EF⊥PC，∴EF⊥面PCG，

∵EF??面PEF，∴面PEF⊥面PCG，

∵OH⊥PG，∴OH⊥面PEF，即OH為所求點(diǎn)B到平面PEF的距離。

由ABCD邊長為2，∴AC=2，GO=，GC=，

∵PC⊥面ABCD，∴PC⊥AC，

∴△OHG∽△PCG，∴,

由PC=2，PG=

∴OH==

即點(diǎn)B到平面PEF的距離為。

方法二：如圖，連接BF、PB，設(shè)點(diǎn)B到平面PEF的距離為d，

由V_P-BEF=S_△BEF·PC

=××BE×AF×PC

=×1×1×2=

連AC交EF于G,連PG,由方法一知

PG=,EF=,S_△PEF=××=

∴V_B-PEF=·S_△PEF·d=V_P-BEF=,

∴d=1 d=

即點(diǎn)B到平面PEF的距離為。