Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其極值；
（Ⅱ）證明：對一切x∈（0，+∞），都有x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=0時x的值，然后討論x的取值來決定導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到函數(shù)極值．
（Ⅱ）由x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx恒成立則有(x-1)2ex+

1

e

＞

lnx

x

，即函數(shù)(x-1)2ex+

1

e

的最小值大于等于函數(shù)f(x)=

lnx

x

的最大值證出即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

1-lnx

x2

=0，解得x=e，
又x∈（0，+∞），
當x＞e時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；當0＜x＜e時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)．
所以f（x）的極大值為f(e)=

lne

e

=

1

e

；
（Ⅱ）證明：對一切x∈（0，+∞），
都有x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx成立則有(x-1)2ex+

1

e

＞

lnx

x

，
由（Ⅰ）知，f（x）的最大值為f(e)=

1

e

，
并且(x-1)2ex+

1

e

≥

1

e

成立，當且僅當x=1時成立，
函數(shù)(x-1)2ex+

1

e

的最小值大于等于函數(shù)f(x)=

lnx

x

的最大值，
但等號不能同時成立．
所以，對一切x∈（0，+∞），都有x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx成立．

點評：考查學生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及不等式恒成立條件的理解能力．