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設函數的圖像關于原點對稱，且時，取極小值。

（1）求的值；

（2）當時，圖像上是否存在兩點，使得此兩點處的切線互相垂直？證明你的結論。

（3）若，求證：。

解：（1）∵函數的圖像關于原點對稱

 ∴對任意實數，有

∴，

即恒成立。

∴

∴，

∵時，取極小值

∴，

∴。

（2）當時，圖像上不存在這樣的兩點使結論成立。

假設圖像上存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直，

則由

知兩點處的切線斜率分別為（*）

∵

∴與（*）矛盾。

（3）∵

令得，

∵或時，，

時，

∴在[－1，1]上是減函數，且，

∴在[－1，1]上，，

∴時，。

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設函數的圖像關于原點對稱，且存在反函數. 若已知，則               .

 

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設函數的圖像關于原點對稱，且存在反函數. 若已知，則               .

 

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(本小題滿分12分)已知函數.

（Ⅰ）若，求在上的最大值與最小值；

（Ⅱ）設函數的圖像關于原點對稱，在點處的切線為，與函數的圖像交于另一點.若在軸上的射影分別為、，，求的值.

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數的圖像關于原點對稱，且時，取極小值。

（1）求，，，的值；

（2）當時，圖像上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論。

（3）若，求證：。

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