Question

6．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（其中α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ．
（Ⅰ）若A，B為曲線C₁，C₂的公共點，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）若A，B分別為曲線C₁，C₂上的動點，當|AB|取最大值時，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)α得曲線C₁的普通方程，將曲線C₂化為直角坐標方程，兩式作差得直線AB的方程，則直線AB的斜率可求；
（Ⅱ）由C₁方程可知曲線是以C₁（1，0）為圓心，半徑為1的圓，由C₂方程可知曲線是以C₂（0，2）為圓心，半徑為2的圓，又|AB|≤|AC₁|+|C₁C₂|+|BC₂|，可知當|AB|取最大值時，圓心C₁，C₂在直線AB上，進一步求出直線AB（即直線C₁C₂）的方程，再求出O到直線AB的距離，則△AOB的面積可求．

解答 解：（Ⅰ）消去參數(shù)α得曲線C₁的普通方程C₁：x²+y²-2x=0．…（1）
將曲線C₂：ρ=4sinθ化為直角坐標方程得x²+y²-4y=0．…（2）
由（1）-（2）得4y-2x=0，即為直線AB的方程，故直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由C₁：（x-1）²+y²=1知曲線C₁是以C₁（1，0）為圓心，半徑為1的圓，
由C₂：x²+（y-2）²=4知曲線C₂：是以C₂（0，2）為圓心，半徑為2的圓．
∵|AB|≤|AC₁|+|C₁C₂|+|BC₂|，
∴當|AB|取最大值時，圓心C₁，C₂在直線AB上，
∴直線AB（即直線C₁C₂）的方程為：2x+y=2．
∵O到直線AB的距離為$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
又此時|AB|=|C₁C₂|+1+2=3+$\sqrt{5}$，
∴△AOB的面積為$S=\frac{1}{2}•\frac{2}{5}\sqrt{5}•（3+\sqrt{5}）=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}+1$．

點評 本題考查了簡單曲線的極坐標方程以及參數(shù)方程化成普通方程，考查了直線與圓的位置關系，是中檔題．