【題目】如圖，已知拋物線：，過焦點(diǎn)斜率大于零的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)．

（Ⅰ）若線段的長為，求直線的方程；

（Ⅱ）在上是否存在點(diǎn)，使得對(duì)任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在點(diǎn)或，使得對(duì)任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)橹本�過焦點(diǎn)，所以設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，利用焦點(diǎn)弦長公式，，解得直線方程；

（Ⅱ）設(shè)，用坐標(biāo)表示直線的斜率，若成等差數(shù)列，那么,代入（1）的坐標(biāo)后，若恒成立，解得點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（Ⅰ）焦點(diǎn)∵直線的斜率不為，所以設(shè)，

， 由得，

，，

，，

∴， ∴． ∴直線的斜率，

∵，∴， ∴直線的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，，

同理，，

∵直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，

∴恒成立，

即恒成立．

∴，

把，代入上式，得恒成立，．

∴存在點(diǎn)或，使得對(duì)任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，是上的點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若是的中點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．

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已知不等式的對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．

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（Ⅱ）若，且滿足，求證：．

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（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】某工廠對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)表：

（1）根據(jù)上表求出回歸直線方程，并預(yù)測當(dāng)單價(jià)定為8.3元時(shí)的銷量；

（2）如果該工廠每件產(chǎn)品的成本為5.5元，利用所求的回歸方程，要使得利潤最大，單價(jià)應(yīng)該定為多少？

附：線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)計(jì)算公式：

，

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【題目】定義在上的函數(shù)為增函數(shù)，對(duì)任意都有（為常數(shù)）

（1）判斷為何值時(shí)，為奇函數(shù)，并證明；

（2）設(shè)，是上的增函數(shù)，且，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）若，，為的前項(xiàng)和，求正整數(shù)，使得對(duì)任意均有.

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【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)面底面， ， ， , ， ，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在棱上，且平面.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】如圖1，在矩形ABCD中， ，點(diǎn)分別在邊上，且， 交于點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使得平面平面，得到圖2．

（Ⅰ）在圖2中，求證： ；

（Ⅱ）若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)在什么位置時(shí)，二面角的余弦值為．

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【題目】過點(diǎn)作直線分別交軸的正半軸于兩點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)取最小值時(shí)，求出最小值及直線的方程；

（Ⅱ）當(dāng)取最小值時(shí)，求出最小值及直線的方程；

（Ⅲ）當(dāng)取最小值時(shí)，求出最小值及直線的方程.

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