Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=2ⁿa_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}，公差為d
∵a₃=7，a₅+a₇=26
∴解得a₁=3，d=2
∵
∴a_n=2n+1，S_n=n（n+2）
（2）由（1）知=2ⁿ（2n+1）
∴
2T_n=3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-T_n=6+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）•2ⁿ⁺¹

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知，利用基本量a₁，d表示，求出等差數(shù)列的首項和公差，進(jìn)而可求通項及前n項和
（Ⅱ）先寫出b_n通項公式，可以看出數(shù)列{b_n}是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的積構(gòu)成，因此采取錯位相減求和．
點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的方法，對于數(shù)列求和的方法要根據(jù)數(shù)列的特點采取不同求和方法，像本題中數(shù)列{b_n}是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的積構(gòu)成，因此采取錯位相減的求和方法．