Question

已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；

（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=log_a(1+)(其中a＞0，且a≠1)，記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和.試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：（1）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，由題意得

∴b_n=3n-2.

（2）由b_n=3n-2知

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)=log_a［(1+1)(1+)(1+)…(1+)］,log_ab_n+1

=log_a.

因此要比較S_n與log_ab_n+1的大小，可先比較（1+1）（1+）…（1+）與的大小.

取n=1,有（1+1）＞

取n=2，有（1+1）（1+）＞，

……

由此推測(cè)（1+1）（1+）…（1+）＞.                              ①

若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：

當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1;

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.

(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證①式成立.

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)，①式成立，

即（1+1）（1+）…（1+）＞.

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

（1+1）（1+）…（1+）·［1+］＞(1+)=(3k+2).

∵［(3k+2)］³-()³

=

=＞0，

∴(3k+2)＞

=.

因而(1+1)(1+)…（1+）(1+)這就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.

由（�。�（ⅱ）知，①式對(duì)任何自然數(shù)n都成立.由此證得：

當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1.