Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{5}cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線${C_2}：{ρ^2}+4ρcosθ-2ρsinθ+4=0$．
（Ⅰ）寫出曲線C₁，C₂的普通方程；
（Ⅱ）過曲線C₁的左焦點(diǎn)且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l交曲線C₂于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)及利亞極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化方法，寫出曲線C₁，C₂的普通方程；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），將其代入曲線C₂整理可得：${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，利用參數(shù)的幾何運(yùn)用求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{5}cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.⇒{（\frac{x}{{2\sqrt{5}}}）^2}+{（\frac{y}{2}）^2}=cos{\;}^2α+{sin^2}α=1$…（1分）
即C₁的普通方程為$\frac{x^2}{20}+{\frac{y}{4}^2}=1$．…（3分）
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，C₂可化為 x²+y²+4x-2y+4=0，…（3分）
即（x+2）²+（y-1）²=1．…（4分）
（Ⅱ）曲線C₁左焦點(diǎn)為（-4，0），…（5分）
直線l的傾斜角為$α=\frac{π}{4}$，$sinα=cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（6分）
所以直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），…（7分）
將其代入曲線C₂整理可得：${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，…（8分）
所以△=${（-3\sqrt{2}）^2}-4×4=2＞0$．
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則${t_1}+{t_2}=3\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=4$．…（9分）
所以$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（3\sqrt{2}）}^2}-4×4}=\sqrt{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．