已知數(shù)列{an} 中,a1=1,a2=
1
4
,且an+1=
(n-1)an
n-an
(n=2,3,4,…)
(1)求a3、a4的值;
(2)設(shè)bn=
1
an+1
-1
(n∈N*),試用bn表示bn+1并求{bn} 的通項公式;
(3)設(shè)cn=
sin3
cosbn•cosbn+1
(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項和Sn
(1)∵數(shù)列{an} 中,a1=1,a2=
1
4
,
an+1=
(n-1)an
n-an
(n=2,3,4,…),
a3=
(2-1)a2
2-a2
=
1
4
2-
1
4
=
1
7
,
a4=
(3-1)a3
3-a3
=
1
7
3-
1
7
=
1
10
,
a3=
1
7
a4=
1
10
.…(3分)
(2)當(dāng)n≥2時,
1
an+1
-1=
n-an
(n-1)an
-1=
n(1-an)
(n-1)an
=
n
n-1
(
1
an
-1)

∴當(dāng)n≥2時,bn=
n
n-1
bn-1
,
bn+1=
n+1
n
bn,n∈N*
,
累乘得bn=nb1,
∵b1=3,∴bn=3n,n∈N*.…(8分)
(3)∵cn=
sin3
cosbn•cosbn+1

=
sin(3n+3-3n)
cos(3n+3)•cos3n
=tan(3n+3)-tan3n
,
∴Sn=c1+c2+…+cn
=(tan6-tan3)+(tan9-tan6)+…+(tan(3n+3)-tan3n)
=tan(3n+3)-tan3.…(13分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項和,且Sn
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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