Question

1．已知雙曲線C：x²-2y²=a²（a＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為P，過(guò)P向x軸作垂線，垂足為H，則$\frac{{|{PH}|}}{{|{{F_1}{F_2}}|}}$=（　�。�

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{3}{10}$

Answer 1

分析 根據(jù)直徑所對(duì)的圓心角是直角，得到三角形F₁PF₂是直角三角形，結(jié)合雙曲線的定義以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{{a}^{2}}{2}}=1$，
則c²=a²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=$\frac{3{a}^{2}}{2}$，
則以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為P，
則∠F₁PF₂=90°，
則|PF₁|-|PF₂|=2a，且|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²=6a²，
即|PF₁|²-2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=4a²，
則6a²-2|PF₁||PF₂|=4a²，
即|PF₁||PF₂|=a²，
在直角三角形F₁PF₂中，
$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||PH|，
則a²=2c|PH|，
則|PH|=$\frac{{a}^{2}}{2c}$，
則$\frac{{|{PH}|}}{{|{{F_1}{F_2}}|}}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{2c}}{2c}$=$\frac{{a}^{2}}{4{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{4×\frac{3{a}^{2}}{2}}$=$\frac{1}{6}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及圓和直角三角形的性質(zhì)建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．