Question

我校學(xué)生會(huì)要組建學(xué)生明星籃球隊(duì)，需要在各班選拔預(yù)備隊(duì)員．選拔過程中每人投籃5次，若投中3次則進(jìn)入B級(jí)，投中4次及以上則進(jìn)入A級(jí)，已知阿達(dá)每次投籃投中的概率是

1

2

．
（1）設(shè)阿達(dá)在5次投籃中，投中次數(shù)為X，求X的分布列和它的數(shù)學(xué)期望E（X）；
（2）求阿達(dá)投籃4次恰好進(jìn)入B級(jí)的概率；
（3）為增加競(jìng)爭(zhēng)力度，學(xué)生會(huì)下發(fā)新規(guī)：連續(xù)兩次投籃不中必須停止投籃，求阿達(dá)投籃次數(shù)不超過4次的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知X的取值為0，1，2，3，4，5，且X～B(5，

1

2

)，根據(jù)符合二項(xiàng)分布寫出變量的概率，寫出分布列做出期望值．
（2）阿達(dá)投籃4次恰好進(jìn)入B級(jí)表示選拔過程中每人投籃5次，若投中3次則進(jìn)入B級(jí)，根據(jù)符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，得到結(jié)果．
（3）阿達(dá)“投籃次數(shù)不超過4次”這一事件有如下幾種情況：①阿達(dá)共投籃兩次，兩次都不中，②阿達(dá)共投籃三次，依次是中，不中，不中．③阿達(dá)共投籃四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
這三種結(jié)果是互斥的，得到概率．

解答：解：（1）由已知X的取值為0，1，2，3，4，5，且X～B(5，

1

2

)
∴P(X=i)=

C

i 5

(

1

2

)i×(

1

2

)5-i=

C

i 5

(

1

2

)5

(其中i∈N，且i≤5)

…（2分）
∴X分布列為

X	0	1	2	3	4	5
P	1 32	5 32	10 32	10 32	5 32	1 32

…（4分）E(X)=5×

1

2

=

5

2

．…（6分）
（2）設(shè)“阿達(dá)投籃4次恰好進(jìn)入B級(jí)”為事件A，
則P(A)=

C

2 3

(

1

2

)2×

1

2

×

1

2

=

3

16

．…（8分）
（3）設(shè)“阿達(dá)第i次投籃命中”為事件A_i（i=1，2，3，4），若i≠j，則A_i與A_j獨(dú)立（i，j=1，2，3，4），根據(jù)新規(guī)：若連續(xù)兩次投籃不中則停止投籃，阿達(dá)“投籃次數(shù)不超過4次”這一事件有如下幾種情況：
①阿達(dá)共投籃兩次，兩次都不中，其概率為P(

.

A1

.

A2

)=(

1

2

)2=

1

4

…（9分）
②阿達(dá)共投籃三次，依次是中，不中，不中．其概率為P(A1

.

A2

.

A3

)=

1

2

×(

1

2

)2=

1

8

…（11分）
③阿達(dá)共投籃四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
即A1A2

.

A3

.

A4

和

.

A1

A2

.

A3

.

A4

，又A1A2

.

A3

.

A4

和

.

A1

A2

.

A3

.

A4

互斥．
故其概率為P(A1A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

A2

.

A3

.

A4

)=P(A1A2

.

A3

.

A4

)+P(

.

A1

A2

.

A3

.

A4

)=2×(

1

2

)4=

1

8

…（13分）
又①②③這三種情況兩兩互斥，故阿達(dá)投籃次數(shù)不超過4次的概率為

1

4

+

1

8

+

1

8

=

1

2

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，看出獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，本題解題的關(guān)鍵是理解條件中所給的事件包含的結(jié)果，本題是一個(gè)綜合題目．