Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=1代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時的導數(shù)值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)可知，當a≥0時，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域（0，+∝）上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，當a＜0時，求出導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值．

解答： 解：（I）當a=1時，f（x）=x+lnx，
∴f′(x)=1+

1

x

(x＞0)，
∴f（1）=1，f'（1）=2，
所以切線方程為2x-y-1=0，
（II ）∵f′(x)=

x+a

x

(x＞0)，
當a≥0時，在x∈（0，+∞）時f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；函數(shù)f（x）無極值；
當a＜0時，由f′（x）=0，解得x=-a．
又當x∈（0，-a）時，f′（x）＜0，當x∈（-a，+∞）時，f′（x）＞0．
從而函數(shù)f（x）在x=-a處取得極小值，且極小值為f（-a）=-a+aln（-a），無極大值．
綜上，當a≤0時，函數(shù)f（x）無極值；
當a＞0時，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值a-alna，無極大值．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了分類討論得數(shù)學思想，屬中檔題．