Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，點(diǎn)（

an

，a_n+1）（n∈N）在函數(shù)y=x²+1的圖象上，數(shù)列{b_n}的n項(xiàng)和s_n=2-b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)C_n=

-1

an+1log2bn+1

，求{C_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn) (

an

，an+1)在函數(shù)y=x²+1的圖象上得到a_n+1-a_n=1所以a_n是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，然后根據(jù)s_n=2-b_n，得出數(shù)列{bn}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）首先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出

log

bn+1 2

=

log	( 1 2 )n 2

=-n，然后求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，最后進(jìn)行求和．

解答：解：（1）∵點(diǎn)（

an

，a_n+1）（n∈N）在函數(shù)y=x²+1的圖象上，∴a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
∵a₁=1，
∴a_n=n，
∵數(shù)列{b_n}的n項(xiàng)和s_n=2-b_n，
∴s_n+1=2-b_n+1，
兩式相減得

bn+1

bn

=

1

2

，
∴數(shù)列{bn}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，
由s_n=2-b_n，得b₁=1，
∴b_n=(

1

2

)n-1，
（2）∵

log

bn+1 2

=

log	( 1 2 )n 2

=-n，
∴c_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n+1=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和和等差等比數(shù)列求通項(xiàng)公式的知識(shí)點(diǎn)，本題通過(guò)函數(shù)圖象與點(diǎn)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為橫縱坐標(biāo)間的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)列，來(lái)考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系．