求棱長(zhǎng)為
2
a的正四面體的外接球半徑和內(nèi)切球半徑．
考點(diǎn)：球的體積和表面積
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：如圖，ABCD是棱長(zhǎng)為
2
a的正四面體 作AO1⊥平面BCD于O1，則O1為△BCD的中心，求出AO1=
2
3
3
a．在平面ABO1內(nèi)作AB的垂直平分線交AO1于O，求出AO=
3
2
a．由OO1=AO1-AO=
3
6
a．正四面體的外接球半徑R=AO，內(nèi)切球半徑r=OO1．
解答： 解：如圖，ABCD是棱長(zhǎng)為
2
a的正四面體作AO1⊥平面BCD于O1，則O1為△BCD的中心，
則BO1=
2
3
×
3
2
×
2
a=
6
3
a，
∴AO1=
(
2
a)2-(
3
3
×
2
a)2
=
2
3
3
a．
在平面ABO1內(nèi)作AB的垂直平分線交AO1于O，
則AO=BO=CO=DO，
且O到平面BCD、ABC、ACD、ABD的距離相等
∴O是△ACD的內(nèi)切球，外接球球心
∵
AO
AB
=
AE
AO1
，∴AO=
2
a
2
×
2
a
6
3
×
2
a
=
6
4
×
2
a=
3
2
a．
∴OO1=AO1-AO=
2
3
3
a-
3
2
a=
3
6
a．
∴正四面體的外接球半徑R=AO=
3
2
a，
內(nèi)切球半徑r=OO1=
3
6
a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正四面體的外接球半徑和內(nèi)切球半徑的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意合理地化空間問題為平面問題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，
2
2
）在橢圓上，且橢圓的離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）⊙O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B．當(dāng)
OA
•
OB
=λ，且
2
3
≤λ≤
3
4
，求△AOB面積S的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，AC垂直準(zhǔn)線于C，BD垂直準(zhǔn)線于D，又O為原點(diǎn)．
（1）證明：CF⊥DF      
（2）A、O、D三點(diǎn)共線    
（3）
1
AF
+
1
BF
=
2
p
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，?ABCD中，
AB
=
a
，
AD
=
b
，H、M是AD、DC的中點(diǎn)，
BF
=
1
3
BC
，以
a
、
b
為基底分解向量
AM
和
HF
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某籃球隊(duì)與其他6支籃球隊(duì)依次進(jìn)行6場(chǎng)比賽，每場(chǎng)均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊(duì)與其他籃球隊(duì)比賽中獲勝的事件是獨(dú)立的，并且獲勝的概率均為
1
3
．
（1）求這支籃球隊(duì)首次獲勝前已經(jīng)負(fù)了兩場(chǎng)的概率；
（2）求這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中恰好獲勝3場(chǎng)的概率；
（3）求這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中獲勝場(chǎng)數(shù)的均值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列五個(gè)命題：
①函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)（kπ+
π
2
，0）（k∈Z）對(duì)稱；
②函數(shù)f（x）=sin|x|是最小正周期為π的周期函數(shù)；
③函數(shù)y=cos2x+sinx的最小值為-1；
④設(shè)θ為第二象限的角，則tan
θ
2
＞cos
θ
2
，且sin
θ
2
＞cos
θ
2
；
⑤若θ為第三象限的角，則點(diǎn)P（sin（cosθ），cos（cosθ））在第二象限．
其中正確的命題序號(hào)是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義函數(shù)f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N*）時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)榧螦，記A中的元素個(gè)數(shù)為an，則
an+49
n
的最小值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果三棱錐A-BCD的底面BCD是正三角形，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，則這樣的三棱錐稱為正三棱錐．給出下列結(jié)論：
①正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等；
②正三棱錐至少有一組對(duì)棱（如棱AB與CD）不垂直；
③當(dāng)正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等時(shí)，該棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離之和為定值；
④若正三棱錐所有棱長(zhǎng)均為2
2
，則該棱錐外接球的表面積等于12π．
⑤若正三棱錐A-BCD的側(cè)棱長(zhǎng)均為2，一個(gè)側(cè)面的頂角為40°，過點(diǎn)B的平面分別交側(cè)棱AC，AD于M，N．則△BMN周長(zhǎng)的最小值等于2
3
．
以上結(jié)論正確的是
 
（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率等于
1
2
，則C的方程是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案