Question

在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=2，CC₁=

2

，則異面直線AB₁和BC₁所成角的正弦值為（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  7

  7

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角,空間向量及應用

分析：分別取A₁C₁，AC的中點E，F，并連接EF，B₁E，則可分別以EB₁，EC₁，EF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，然后求出向量

AB1

，

BC1

的坐標，從而求出這兩向量的夾角，從而求出對應的兩異面直線所成角的正弦值．

解答： 解：如圖，取A₁C₁中點E，AC中點F，并連接EF，則：EB₁，EC₁，EF三條直線兩兩垂直，∴分別以這三條直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系；
能確定以下幾點的坐標：
A（0，-1，

2

），B1(

3

，0，0)，B（

3

，0，

2

），C₁（0，1，0）；
∴

AB1

=(

3

，1，-

2

)，

BC1

=(-

3

，1，-

2

)；
∴

AB1

•

BC1

=-3+1+2=0；
∴

AB1

⊥

BC1

，∴異面直線AB₁和BC₁所成角為90°，∴sin90°=1．
故選D．

點評：考查異面直線所成角，以及用向量法求異面直線所成角的方法．