Question

（1）已知f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x）解析式
（2）已知f（x）+2f（-x）=2x+1，求f（x）解析式
（3）若f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用換元法，設(shè)

x

+1=t，用t表示

x

，求出f（t），即得f（x）；
（2）用換元法，由f（x）+2f（-x）=2x+1①，得f（-x）+2f（x）=-2x+1②；由①、②求出f（x）即可；
（3）用待定系數(shù)法，設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），分別求出a、b、c即可．

解答： 解：（1）∵f（

x

+1）=x+2

x

，
設(shè)

x

+1=t（t≥1），
∴

x

=t-1，
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1（t≥1），
即f（x）=x²-1（x≥1）；
（2）∵f（x）+2f（-x）=2x+1①，
∴f（-x）+2f（x）=-2x+1②；
∴②×2-①得，3f（x）=-6x+1，
∴f（x）=-2x+

1

3

；
（3）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（0）=0，∴c=0；
又∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1；
即

2a+b=b+1 a+b=1

，
解得a=b=

1

2

；
∴f（x）=

1

2

x²+

1

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)解析式的幾種常用方法，解題時(shí)應(yīng)對(duì)每一個(gè)題目進(jìn)行分析，選擇適當(dāng)?shù)胤椒ㄟM(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．