Question

5．已知函數(shù)f（x）=4lnx-x，g（x）=ax²+ax+1（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2））若af（x）＞g（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=$\frac{4}{x}-1=\frac{4-x}{x}$，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）af（x）＞g（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立，等價于：4alnx-ax²-2ax-1＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，由此利用分類討論思想和構(gòu)造法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=4lnx-x，（2分）
∴f′（x）=$\frac{4}{x}-1=\frac{4-x}{x}$，x＞0，
由f′（x）=$\frac{4-x}{x}$＞0，解得x＜4；由f′（x）＜0，得x＞4，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，4]，單調(diào)遞減區(qū)間是[4，+∞）．（4分）
（2）af（x）＞g（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立，
等價于：4alnx-ax²-2ax-1＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，
當(dāng)a=0時，4alnx-ax²-2ax-1＞0不成立；
當(dāng)a＞0時，4alnx-ax²-2ax-1＞0化為：$\frac{1}{a}$＜4lnx-x²-2x，①
當(dāng)a＜0時，4alnx-ax²-2ax-1＞0化為：$\frac{1}{a}＞4lnx-{x}^{2}-2x$，②
令h（x）=4lnx-x²-2x，（x＞0），
則h′（x）=$\frac{4}{x}$-2x-2=-$\frac{2{x}^{2}+2x-4}{x}$=-$\frac{2（x-1）（x+2）}{x}$，（x＞0），（8分）
∴當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，
故h （x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)
∴h（x）_max=h（1）=3，（10分）
因此①不成立，要②成立，只要$\frac{1}{a}＞-3$，即a＜-$\frac{1}{3}$．
∴所求a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．