已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ） 若a=2，求f（x）在[0，π]上的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當常數(shù)a≠0時，設g（x）=
f(x)
x
，求g（x）在[
π
6
，
5π
6
]上的最大值．
分析：（Ⅰ）把a=2代入f（x），然后對f（x）進行求導，可以令f′（x）＜0，解出x的范圍即可；
（Ⅱ）常數(shù)a≠0時，設g（x）=
f(x)
x
，利用求導法則，對g（x）進行求導，求出x在[0，π]上的極值點，利用導數(shù)研究其最值問題；
解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x+2sinx，所以f′（x）=1+2cosx，
當f′（x）＜0，cosx＜-
1
2
，
∴f（x）在[0，π]上單調遞減區(qū)間為[
2
3
π，π]．
（Ⅱ）g（x）=
f(x)
x
=1+
asinx
x
，
g′（x）=
a(xcosx-sinx)
x2
，
記h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），
h′（x）=-xsinx＜0，對x∈（0，π）恒成立，
∴h（x）在x∈（0，π）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=0，即g′（x）＜0，
①當a＞0時，g（x）=
f(x)
x
在（0，π）上是減函數(shù)，得g（x）在[
π
6
，
5π
6
]上為減函數(shù)，
∴當a=
π
6
時，g（x）取得最大值1+
3a
π
，
②當a＜0時，g（x）=
f(x)
x
在（0，π）上是增函數(shù)，得g（x）在[
π
6
，
5π
6
]上為增函數(shù)，
∴當x=
5π
6
時，g（x）取得最大值1+
3a
5π
；
點評：此題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值問題，解題的關鍵是能夠對g（x）進行正確求導，此題是一道中檔題；
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若k=
1
3
，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間[
1
2
，a]上的值域為[
1
a
，1]，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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已知集合A={x|0≤x≤4}，集合B={y|0≤y≤2}，按照下列對應法則能構成集合A到集合B的映射的是（　　）

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已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)：當x＞0時，f（x）=x（1-x）；則當x＜0時，f（x）=（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若數(shù)學公式，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間數(shù)學公式上的值域為數(shù)學公式，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高三數(shù)學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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