如圖,在組合體中,ABCD—A
1B
1C
1D
1是一個長方體,P—ABCD是一個四棱錐.AB=2,BC=3,點P
平面CC
1D
1D,且PC=PD=
.
(1)證明:PD
平面PBC;
(2)求PA與平面ABCD所成的角的正切值;
(3)若
,當a為何值時,PC//平面
.
(1)先證
,再證
,根據(jù)線面垂直的判定定理可證結論
(2)
(3)當
時,
或建立空間直角坐標系可以用空間向量解決
試題分析:方法一:(1)因為
,
,
所以
為等腰直角三角形,所以
.
因為
是一個長方體,所以
,
而
,所以
,所以
.
因為
垂直于平面
內(nèi)的兩條相交直線
和
,
由線面垂直的判定定理,可得
.
(2)過
點在平面
作
于
,連接
.
因為
,所以
,
所以
就是
與平面
所成的角.
因為
,
,所以
.
所以
與平面
所成的角的正切值為
.
(3)當
時,
.
當
時,四邊形
是一個正方形,所以
,
而
,所以
,所以
.
而
,
與
在同一個平面內(nèi),所以
.
而
,所以
,所以
.
方法二:(1)證明:如圖建立空間直角坐標系,設棱長
,
則有
,
,
,
.
于是
,
,
,
所以
,
.
所以
垂直于平面
內(nèi)的兩條相交直線
和
,
由線面垂直的判定定理,可得
.
(2)解:
,所以
,而平面
的一個法向量為
.
所以
.所以
與平面
所成的角的正切值為
.
(3)解:
,所以
,
.
設平面
的法向量為
,則有
,
令
,可得平面
的一個法向量為
.
若要使得
,則要
,即
,解得
.
所以當
時,
.
點評:解決空間中直線、平面間的位置關系,要緊扣相應的判定定理和性質定理,求線面角時,要注意先作再證再求,要注意線面角的取值范圍.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱錐
中,底面ABCD是一直角梯形,
,
,
,且PA=AD=DC=
AB=1.
(1)證明:平面
平面
(2)設AB,PA,BC的中點依次為M、N、T,求證:PB∥平面MNT
(3)求異面直線
與
所成角的余弦值
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
正方體
--
,E、F分別是
、
的中點,p是
上的動點(包括端點),過E、D、P作正方體的截面,若截面為四邊形,則P的軌跡是
A、線段
B、線段
C、線段
和一點
D、線段
和一點C
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知
垂直平行四邊形
所在平面,若
,則平行四邊形
一定是
(填形狀)
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
正三棱錐的側面與底面所成的角的余弦值為
,則側棱與底面所成角的正弦值為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分6分)
如圖,在邊長為
的菱形
中,
,
面
,
,
、
分別是
和
的中點.
(1)求證:
面
;
(2)求證:平面
⊥平面
;
(3)求
與平面
所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
如圖,在棱長為2的正方體ABCD—A
1B
1C
1D
1中,O是底面ABCD的中心,E、F分別是CC
1、AD的中點.那么異面直線OE和FD
1所成角的余弦值為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖所示,△
是正三角形,
和
都垂直于平面
,且
,
,
是
的中點.
(1)求證:
∥平面
;
(2)求三棱錐
的體積.
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