在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,直線l的方程為y=kx-2.
(1)若直線l被圓C所截得弦長(zhǎng)為2,求直線l的方程;
(2)若直線l上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),求k的最大值.
分析:(1)設(shè)直線l被圓C所截得弦長(zhǎng)為L(zhǎng),將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,找出圓心C坐標(biāo)與半徑r,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d,利用垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,即可確定出直線l的方程;
(2)將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,找出圓心C坐標(biāo)與半徑r,由題意,直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)A(x0,kx0-2),以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),可得出存在x0∈R,使得AC≤1+1成立,即ACmin≤2,ACmin即為點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的最大值.
解答:解:(1)設(shè)直線l被圓C所截得弦長(zhǎng)為L(zhǎng),
圓C的方程可化為(x-4)2+y2=1,圓心為C(4,0),半徑為r=1,
設(shè)圓心C到直線l的距離為d,則d=
|4k-2|
k2+1
,
由垂徑定理可知,直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)=2
r2-d2
,
故由題意,可得2
12-(
|4k-2|
k2+1
)
2
=2,
化簡(jiǎn)得,k=
1
2
,
則直線l的方程為y=
1
2
x-2;
(2)∵圓C的方程可化為:(x-4)2+y2=1,
∴圓C的圓心為(4,0),半徑為1.
∵由題意,直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)A(x0,kx0-2),以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn);
∴存在x0∈R,使得AC≤1+1成立,即ACmin≤2,
∵ACmin即為點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離
|4k-2|
k2+1

|4k-2|
k2+1
≤2,
解得:0≤k≤
4
3

∴k的最大值是
4
3
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識(shí)有:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)到直線的距離公式,垂徑定理,勾股定理,是一道綜合性較強(qiáng)的試題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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