Question

（2009•長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）的定義域是{x|x∈R，x≠

k

2

，k∈Z}，且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)=-

1

f(x)

，當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f（x）=3^x．
（1）求證：f（x+2）=f（x）且f（x）是奇函數(shù)；
（2）求當(dāng)x∈(

1

2

，1)時(shí)函數(shù)f（x）的解析式，并求x∈(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）時(shí)f（x）的解析式；
（3）當(dāng)x∈(2k+

1

2

，2k+1)時(shí)，解不等式log₃f（x）＞x²-（2k+2）x+2k+1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f(x+1)=-

1

f(x)

與f（x+2）=f（x）可求出f（x）與f（-x）的關(guān)系，從而確定函數(shù)的奇偶性；
（2）當(dāng)x∈(

1

2

，1)時(shí)，1-x∈(0，

1

2

)，代入已知解析式，從而求出所求，當(dāng)x∈(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）時(shí)，x-2k∈(

1

2

，1)，代入已知解析式即可求出所求；
（3）將函數(shù)解析式代入，然后討論兩根的大小，從而求出不等式的解集．

解答：解：（1）由f(x+1)=-

1

f(x)

得f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f(x)，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函數(shù)．（5分）
（2）當(dāng)x∈(

1

2

，1)時(shí)，1-x∈(0，

1

2

)，
∴f（1-x）=3^1-x．    （7分）
而f(1-x)=-

1

f(-x)

=

1

f(x)

，
∴f（x）=3^x-1．      （9分）
當(dāng)x∈(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）時(shí)，x-2k∈(

1

2

，1)，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                  （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-（2k+2）x+2k+1
即為x-2k-1＞x²-（2k+2）x+2k+1，
即x²-（2k+3）x+2（2k+1）＜0，（13分）（x-2）[x-（2k+1）]＜0
當(dāng)2k+1＜2即k＜

1

2

時(shí)，x∈（2k+1，2）與條件不符；  （14分）
當(dāng)2k+1=2即k=

1

2

時(shí)，無(wú)解．            （15分）
當(dāng)2k+1＞2即k＞

1

2

時(shí)，若2k+

1

2

≤2即k≤

3

4

時(shí)整數(shù)k不存在；（16分）
若2k+

1

2

＞2即k＞

3

4

時(shí)，x∈(2k+

1

2

，2k+1)．         （17分）
綜上：k≥1時(shí) x∈(2k+

1

2

，2k+1)，k＜1時(shí)x∈φ（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及在給定區(qū)間上的解析式和不等式的解集等有關(guān)問(wèn)題，屬于中檔題．