Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

sinx-

3

2

cosx（x∈[a，b]）的值域?yàn)閇-

1

2

，1]，設(shè)b-a的最大值為M，最小值為m，則M+m=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意，定義域一定在一個(gè)周期之內(nèi)，且a在最高點(diǎn)的左邊，b在最高點(diǎn)的右邊，a、b至少有一點(diǎn)能使函數(shù)值為-

1

2

，令f（x）=sin（x-

π

3

）=-

1

2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=

1

2

sinx-

3

2

cosx=sin（x-

π

3

），值域?yàn)閇-

1

2

，1]，
∴定義域一定在一個(gè)周期之內(nèi)，且a在最高點(diǎn)的左邊，b在最高點(diǎn)的右邊，a、b至少有一點(diǎn)能使函數(shù)值為-

1

2

．
令f（x）=sin（x-

π

3

）=-

1

2

，在原點(diǎn)附近的周期[-

π

2

+

π

3

，

π

2

+

π

3

]內(nèi)，可得x=-

π

3

或x=π，且最高點(diǎn)為x=

π

3

．
當(dāng)a=-

π

3

，b=π時(shí)，為最大值M=

4π

3

，當(dāng)a=

π

3

，b=π時(shí)，為最小值m=

2π

3

，（或者a=-

π

3

，b=

π

3

時(shí)也能取得），
∴M+m=2π．
故答案為：2π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．