Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+9），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）若數(shù)列{a_n}前三項(xiàng)成等差數(shù)列，求λ的值；
（2）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)0＜a＜b，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵a₁=λ，∴=，==．
∵數(shù)列{a_n}前三項(xiàng)成等差數(shù)列，∴2a₂=a₁+a₃，
∴，解得λ=-6．
∴λ的值為-6．
（2）由（1）可知：若λ=-6，則a_n=-6+3（n-1）=3n-9，此時(shí)b_n=0不是等比數(shù)列；
當(dāng)λ≠-6時(shí)，a_n≠3n-9．
===-．
又b₁=-（a₁-3+9）=-λ-6≠0，
∴數(shù)列{b_n}是以-λ-6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（3）由（1）（2）可知：①當(dāng)λ=-6時(shí)，b_n=0，對(duì)于給定的0＜a＜b，對(duì)任意正整數(shù)n，0＜a＜S_n＜b不成立．
②當(dāng)λ≠-6時(shí)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b成立．
由（2）可知：數(shù)列{b_n}是以-λ-6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴=．
∴S_n=（-λ-6）==．
當(dāng)n→+∞時(shí)，→0．
當(dāng)λ＞-6時(shí)，S_n＜0，此時(shí)對(duì)任意正整數(shù)n，a＜S_n＜b不成立．
當(dāng)λ＜-6時(shí)，n=2k（k∈N^*）時(shí)，∵，∴0＜；
n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，，∴．
∵＜（-λ-6）．
∴對(duì)于任意正整數(shù)n，．
∵設(shè)0＜a＜b，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b．
∴必有，解得-6-b≤λ≤-3a-6.．
分析：（1）利用等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由（1）可知：若λ=-6，數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列；當(dāng)λ≠-6時(shí)，利用遞推關(guān)系可找出b_n+1與b_n的關(guān)系即可；
（3）對(duì)λ分λ=-6與λ≠-6討論，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
點(diǎn)評(píng)：數(shù)列掌握等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、分類討論的思想方法、遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵．