Question

（本題滿分12分）如圖， 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值

Answer 1

（Ⅰ）證明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                       …………………2分
又 AC⊥，且
∴ AC⊥平面BCC₁，又平面BCC₁        ……………………………………4分
∴ AC⊥BC₁                            ……………………………………5分
（Ⅱ）解法一：取中點(diǎn)，過作于，連接    

是中點(diǎn)，
∴ ，又平面
∴平面，
又平面，平面
∴
∴ 又且 
∴平面，平面    
∴  又
∴是二面角的平面角             …………………………10分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴在中，，，
∴              ……………………………………11分
∴二面角的正切值             ………………………………12分
解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 ………6分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴， ，，，
∴，
平面的法向量              ，                      …………………7分
設(shè)平面的法向量，
則，的夾角（或其補(bǔ)角）的大小就是二面角的大小  ……8分
則由  令，則，
∴                                          …………10分
，則  　 ……………11分
∵二面角是銳二面角
∴二面角的正切值為             …………………… 12分

略