【題目】已知函數(shù)

1)若函數(shù)在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

3)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】1;(2;(3.

【解析】

1在區(qū)間上恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí),恒成立,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上的單調(diào)性求出最大值即可得解;(2)求出導(dǎo)數(shù),則在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn),根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式組求a的取值范圍,取,,判斷函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證,分別為極大值與極小值即可;(3)題意等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),分析函數(shù)單調(diào)性知,再根據(jù)為函數(shù)的極值點(diǎn)即可代入不等式求出的范圍從而求出a的范圍,再驗(yàn)證函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn).

1

即當(dāng)時(shí),恒成立,

設(shè)

因?yàn)?/span>,所以,上單調(diào)遞增,

所以,所以,

2)因?yàn)?/span>

所以在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)的必要條件為

在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn),

,

當(dāng)時(shí),上遞減,在上遞增

,,

所以存在唯一的使得,

因?yàn)?/span>在區(qū)間大于零,在區(qū)間小于零,在區(qū)間上大于零,

所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減,在上遞增,

所以,分別為極大值與極小值,

所以當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn);

3)因?yàn)?/span>

所以,

,

,解得(舍去),.

0

極小值

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn),

所以

又因?yàn)?/span>,所以

代入①得到,

所以上遞減,因?yàn)?/span>,所以,

因?yàn)?/span>在區(qū)間上遞增,所以

i)因?yàn)?/span>,所以,

,,

所以

所以上遞增,,所以

所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn).

ⅱ)又因?yàn)?/span>

,

,

所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),

綜上時(shí),的圖像與圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

解法二:由

,

,所以當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

所以在區(qū)間上遞減,在區(qū)間上遞增,

所以,

i)當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>

所以

,則

所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),

ii)當(dāng)時(shí),

,

因?yàn)?/span>,,

所以,所以上遞增,

,所以,即

所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),

綜上時(shí),的圖像與圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

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