Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，沿對(duì)角線AC把△ACD折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為    ．

Answer 1

【答案】分析：先作出直線BD與面ABC所成角，計(jì)算三棱錐的體積，求出其最大值，可得△BOD是等腰Rt△，從而可得結(jié)論．
解答：解：如圖所示，O為正方形ABCD的中心，
∵BO⊥AC，DO⊥AC，
∴AC⊥面BOD，
∵AC?面ABC，∴面BOD⊥面ABC
∴BD在面ABC的射影是BO，∠BDO=φ是直線BD與面ABC所成角．
設(shè)∠BOD=θ（0°＜θ＜180°），正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則BO=DO=
∴△BOD的面積=BO×DO×sinθ=sinθ．
∴三棱錐體積=S_△BOD×AC=sinθ≤，
∴θ=90°時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)△BOD是等腰Rt△，
∴φ=45°，即當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)候，直線BD與面ABC所成角為45°．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面圖形的翻折，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查線面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．