Question

在（

x

-

2

x2

）⁸的展開式中，
（1）系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？
（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）求系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)最大的系數(shù)絕對值大于等于其前一個(gè)系數(shù)絕對值；同時(shí)大于等于其后一個(gè)系數(shù)絕對值；列出不等式求出系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)．
（2）利用展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，判斷出第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第5項(xiàng)．
（3）據(jù)系數(shù)正負(fù)交替出現(xiàn)，故求系數(shù)最大的項(xiàng)；

解答： 解：（1）設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第k+1項(xiàng)，于是

C k 8 •2k ≥C k-1 8 •2k-1 C k 8 •2k≥ C k+1 8 •2k+1

解得5≤k≤6，
所以k=5或k=6時(shí)系數(shù)的絕對值最大，
故系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng)．
（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)，于是T5

=C

4 8

(

x

)8-4•(-2)4•x-8=

C

4 8

•24x-6；
（3）由（1）知，系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng)．由于系數(shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，故第7項(xiàng)系數(shù)最大，
T7

=C

6 8

•x•(-2)6•x-12=1792x-11．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大、考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、考查求系數(shù)最大項(xiàng)的方法．