Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0），若f（0）=-f（$\frac{π}{2}$）且在（0，$\frac{π}{2}$）上有且僅有三個零點，則ω=（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{26}{3}$
• D． $\frac{14}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得f（x）的圖象關于點（$\frac{π}{4}$，0）對稱，$\frac{π}{4}ω$-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z．且$\frac{2π}{ω}$＜$\frac{π}{2}$＜$\frac{3}{2}$•$\frac{2π}{ω}$，求得6＞ω＞4，結(jié)合所給的選項，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0），f（0）=-f（$\frac{π}{2}$），即f（0）+f（$\frac{π}{2}$）=0，
故f（x）的圖象關于點（$\frac{π}{4}$，0）對稱，故sin（$\frac{π}{4}ω$-$\frac{π}{6}$）=0，故有$\frac{π}{4}ω$-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z ①．
∵f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上有且僅有三個零點，故有$\frac{2π}{ω}$＜$\frac{π}{2}$＜$\frac{3}{2}$•$\frac{2π}{ω}$，∴6＞ω＞4 ②．
綜合①②，結(jié)合所給的選項，可得ω=$\frac{14}{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的周期性，屬于中檔題．