Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=a₂，b₂=a₅，b₃=a₁₄．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=S_n（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合b₁=a₂，b₂=a₅，b₃=a₁₄列式求得等差數(shù)列的公差，然后求出等比數(shù)列的公比，分別代入等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=S_n得到c_n=a_n•b_n．代入等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后利用錯位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由{b_n}是等比數(shù)列，得b22=b1•b3，
即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，整理得：2a1d=d2．
∵a₁=1，公差d＞0，
∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
∴等比數(shù)列{b_n}的公比q=3．
∴bn=3n；
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=S_n，得

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=Sn-1 （n≥2）．
兩式作差得：

cn

bn

=an(n≥2)．
∴c_n=a_n•b_n（n≥2）．
又

c1

b1

=a1，
∴c₁=a₁•b₁．
∴c_n=a_n•b_n．
∴T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ．
3Tn=1×32+3×33+…+(2n-1)•3n+1．
兩式作差得：-2Tn=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)•3n+1
=3+2×

9(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)•3n+1．
∴Tn=3+(n-1)•3n+1．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．