已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設(shè)t=logax+logxa.
(Ⅰ)當(dāng)x∈(1,a)∪(a,+∞)時,將f(x)表示成t的函數(shù)h(t),并探究函數(shù)h(t)是否有極值;
(Ⅱ)當(dāng)k=4時,若對?x1∈(1,+∞),?x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實(shí)數(shù)b的取值范圍..
分析:(Ⅰ)先根據(jù)(logax)2+(logxa)2=(logax+logxa)2-2=t2-2以及(logax)3+(logxa)3=(logax+logxa)[(logax+logxa)2-3]=t3-3t,即可求出h(t),;再求出其導(dǎo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為研究h'(t)=-3t2+2kt+3=0在(2,+∞)內(nèi)有解,且h'(t)的值在根的左右兩側(cè)異號即可得到結(jié)論;
(Ⅱ)先把問題轉(zhuǎn)化為x∈(1,+∞)時,f(x)max≤g(x)max,x∈[1,2],;利用導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出其最大值;再求出g(x)的最大值,兩者相比即可得到結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)∵(log
ax)
2+(log
xa)
2=(log
ax+log
xa)
2-2=t
2-2,
(log
ax)
3+(log
xa)
3=(log
ax+log
xa)[(log
ax+log
xa)
2-3]=t
3-3t,
∴h(t)=-t
3+kt
2+3t-2k,(t>2)
∴h'(t)=-3t
2+2kt+3
設(shè)t
1,t
2是h'(t)=0的兩根,則t
1t
2<0,
∴h'(t)=0在定義域內(nèi)至多有一解,
欲使h(t)在定義域內(nèi)有極值,只需h'(t)=-3t
2+2kt+3=0在(2,+∞)內(nèi)有解,
且h'(t)的值在根的左右兩側(cè)異號,
∴h'(2)>0得
k>綜上:當(dāng)
k>時h(t)在定義域內(nèi)有且僅有一個極值,
當(dāng)
k≤時h(t)在定義域內(nèi)無極值
(Ⅱ)∵對任意的x
1∈(1,+∞),存在x
2∈[1,2],
使f(x
1)≤g(x
2)等價于x∈(1,+∞)時,f(x)
max≤g(x)
max,x∈[1,2],
又k=4時,h(t)=-t
3+4t
2+3t-8 (t≥2),
h'(t)=-3t
2+8t+3t∈(2,3)時,h'(t)>0,
而t∈(3,+∞)時,h'(t)<0
∴h(t)
max=h(3)=10,
x∈[1,2]時,g(x)max=∴
或∴
b≤- 點(diǎn)評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.