【題目】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為p,公差為,對(duì)于不同的自然數(shù),直線軸和指數(shù)函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)(如圖所示),記的坐標(biāo)為,直角梯形、的面積分別為,一般地記直角梯形的面積為.

1)求證:數(shù)列是公比絕對(duì)值小于1的等比數(shù)列;

2)設(shè)的公差,是否存在這樣的正整數(shù),構(gòu)成以,為邊長(zhǎng)的三角形?并請(qǐng)說明理由;

3)設(shè)的公差為已知常數(shù),是否存在這樣的實(shí)數(shù)p使得(1)中無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和?并請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)證明見解析(2)不存在,詳見解析(3)存在,證明見解析

【解析】

1,直角梯形的兩底長(zhǎng)度,.高為,利用梯形面積公式表示出.利用等比數(shù)列定義進(jìn)行證明即可;

2,以,為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形,則考查不等式解的情況作解答;

3)利用無窮等比數(shù)列求和公式,將化簡(jiǎn)為,則,探討p的存在性.

解:(1,

,

對(duì)于任意自然數(shù)n,,

所以數(shù)列是等比數(shù)列且公比,

因?yàn)?/span>,所以

2,,

對(duì)每個(gè)正整數(shù),

若以,為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形,

,即

即有,這是不可能的.

所以對(duì)每一個(gè)正整數(shù),以,,為邊長(zhǎng)不能構(gòu)成三角形;

3)由(1)知,,,

所以

,則

兩邊取對(duì)數(shù),知只要取值為小于的實(shí)數(shù),

就有.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:①若,則;②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;③函數(shù)上單調(diào)遞增;④的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )

A.①②④B.①②C.③④D.②④

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【題目】定義在上的函數(shù),如果對(duì)任意,恒有成立,則稱階縮放函數(shù).

1)已知函數(shù)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)時(shí),,求的值;

2)已知函數(shù)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)時(shí),,求證:函數(shù)上無零點(diǎn);

3)已知函數(shù)階縮放函數(shù),且當(dāng)時(shí), 的取值范圍是,求上的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)集合,.

(1),求實(shí)數(shù)的值;

(2),求實(shí)數(shù)的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)討論的單調(diào)性;

2)若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn),,,求實(shí)數(shù)的取值范圍,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,曲線由兩個(gè)橢圓和橢圓組成,當(dāng)成等比數(shù)列時(shí),稱曲線貓眼曲線”.

1)若貓眼曲線過點(diǎn),且的公比為,求貓眼曲線的方程;

2)對(duì)于題(1)中的求貓眼曲線,任作斜率為且不過原點(diǎn)的直線與該曲線相交,交橢圓所得弦的中點(diǎn)為M,交橢圓所得弦的中點(diǎn)為N,求證:為與無關(guān)的定值;

3)若斜率為的直線為橢圓的切線,且交橢圓于點(diǎn),為橢圓上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),求面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐中,底面,,.D,E分別為,的中點(diǎn),過的平面與,相交于點(diǎn)M,N(MP,B不重合,NP,C不重合).

(1)求證:;

(2)求直線與平面所成角的大小;

(3)若直線與直線所成角的余弦值時(shí),求的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】是一個(gè)集合,是一個(gè)以的某些子集為元素的集合,且滿足:(1屬于屬于;(2中任意多個(gè)元素的并集屬于;(3中任意多個(gè)元素的交集屬于,則稱是集合上的一個(gè)拓補(bǔ).已知集合,對(duì)于下面給出的四個(gè)集合

其中是集合上的拓補(bǔ)的集合的序號(hào)是______.(寫出所有的拓補(bǔ)的集合的序號(hào))

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【題目】某市在開展創(chuàng)建全國(guó)文明城市活動(dòng)中,工作有序扎實(shí),成效顯著,尤其是城市環(huán)境衛(wèi)生大為改觀,深得市民好評(píng).“創(chuàng)文過程中,某網(wǎng)站推出了關(guān)于環(huán)境治理和保護(hù)問題情況的問卷調(diào)查,現(xiàn)從參與問卷調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:第1,第2,第3,第4,第5,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

1)求出a的值;

2)若已從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,現(xiàn)要再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,設(shè)第2組抽到人,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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