設拋物線C1：x2＝4y的焦點為F，曲線C2與C1關(guān)于原點對稱．

(Ⅰ)求曲線C2的方程；

(Ⅱ)曲線C2上是否存在一點P(異于原點)，過點P作C1的兩條切線PA，PB，切點A，B，滿足|AB|是|FA|與|FB|的等差中項？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解；因為曲線與關(guān)于原點對稱，又的方程，

　　所以方程為．　5分

　　(Ⅱ)解：設，，，．

　　的導數(shù)為，則切線的方程，

　　又，得，

　　因點在切線上，故．

　　同理，．

　　所以直線經(jīng)過兩點，

　　即直線方程為，即，

　　代入得，則，，

　　所以，

　　由拋物線定義得，．

　　所以，

　　由題設知，，即，

　　解得，從而．

　　綜上，存在點滿足題意，點的坐標為

　　或．　15分


提示：

本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系、等差中項等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．滿分15分．


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：遼寧省沈陽二中2010－2011學年高二下學期期末考試數(shù)學理科試題 題型：044

已知點D(0，－2)，過點D作拋物線C1：x2＝2py(p＞0)的切線l，切點A在第二象限，如下圖．

(Ⅰ)求切點A的縱坐標；

(Ⅱ)若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過切點A，設切線l交橢圓的另一點為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k1，k2，若k1＋2k2＝4k，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學試題浙江卷 題型：044

如圖，設P是拋物線C1：x2＝y(tǒng)上的動點．過點P做圓C2的兩條切線，交直線l：y＝－3于A，B兩點．

(Ⅰ)求C2的圓心M到拋物線C1準線的距離．

(Ⅱ)是否存在點P，使線段AB被拋物線C1在點P處得切線平分，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學2012屆高三上學期期中考試數(shù)學理科試題 題型：044

如圖，已知過點D(0，－2)作拋物線C1：x2＝2py(p＞0)的切線l，切點A在第二象限．

(Ⅰ)求切點A的縱坐標；

(Ⅱ)若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過切點A，設切線l交橢圓的另一點為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k1，k2，若k1＋2k2＝4k，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知拋物線C1：x2＝2py(p>0)與圓C2：x2＋y2＝交于M、N兩點，且∠MON＝120°.

(1)求拋物線C1的方程；

(2)設直線l與圓C2相切.

①若直線l與拋物線C1也相切，求直線l的方程.

②若直線l與拋物線C1交于不同的A、B兩點，求·的取值范圍.

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