Question

在△ABC中，已知b=6，c=5，cos（C-B）=

1

10

，則cosA=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數,余弦定理

專題：三角函數的求值

分析：在△ABC中，作AD⊥BC，D為垂足．設BD=m，CD=n，AD=h，∠BAD=α，∠CAD=β，則cosBcosC=

m

5

•

n

6

=

1

2

[cos（C-B）+cos（C+B）]=

1

2

[

1

10

-cosA]，再由cosA=cosαcosβ-sinαsinβ=

h2

30

-

1

2

[

1

10

-cosA]，求得cosA=

4

5

（

h2

30

-

1

20

）．再根據cos（C-B）=

m

5

•

n

6

+

h

5

•

h

6

=

1

10

，5²-m²=6²-n²=h²，求得得m和h²的值，可得cosA的值．

解答： 解：在△ABC中，已知b=6，c=5，cos（C-B）=

1

10

，
作AD⊥BC，D為垂足．
設BD=m，CD=n，AD=h，∠BAD=α，∠CAD=β，如圖所示：
則cosBcosC=

m

5

•

n

6

，
又cosBcosC=

1

2

[cos（C-B）+cos（C+B）]=

1

2

（

1

10

-cosA），
∴

m

5

•

n

6

=

1

2

（

1

10

-cosA）．
∴cosA=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

h

5

•

h

6

-

m

5

•

n

6

=

h2

30

-

1

2

（

1

10

-cosA），
∴cosA=

4

5

（

h2

30

-

1

20

 ）．
∵cos（C-B）=cosCcosB+sinCsinB=

m

5

•

n

6

+

h

5

•

h

6

=

1

10

，5²-m²=6²-n²=h²，
解得m=

22

55

，h²=

891

55

，∴cosA=

4

5

（

h2

30

-

1

20

）=

4

5

（

297

550

-

1

20

）=

539

1375

．

點評：本題主要考查兩角和差的三角公式、直角三角形中的邊角關系，屬于中檔題．