已知函數(shù)f(x)=a|x|+
2
ax
(x∈
R,a>1),
(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)記函數(shù)g(x)=f(-x),x∈[-2,+∞),若g(x)的最小值與a無關(guān),求a的取值范圍;
(3)若m>2
2
,直接寫出(不需給出演算步驟)關(guān)于x的方程f(x)=m的解集.
分析:(1)表達式形式上提醒我們可以嘗試基本不等式求解,則需要對自變量x的絕對值符號進行討論分析.不過要注意是否真的能用基本不等式,即注意基本不等式的使用條件.
(2)本題需要通過f(x)求出g(x)表達式,觀察表達式可知,解決本題的關(guān)鍵是對函數(shù)解析式中絕對值符合的處理,要去掉絕對值符號可以根據(jù)定義分類討論.
(3)需要對變量m分以下兩種情況討論:2
2
<m≤3,m>3
解答:解:(1)①x≥0時,∵ax≥1,f(x)=a|x|+
2
ax
=ax+
2
ax
≥2
2

當(dāng)且僅當(dāng)ax=
2
ax
,即ax=
2
>1
時等號成立;
②x<0,∵a>1,∴0<ax<1,∴f(x)=
3
ax
>3
,
由①②知函數(shù)f(x)的值域為[2
2
,+∞)

(2)g(x)=f(-x)=a|x|+2ax,x∈[-2,+∞),
①x≥0,∵a>1,∴ax≥1,g(x)=3ax,∴g(x)≥3,
②-2≤x<0時,∵a>1,
1
a2
ax<1,g(x)=a-x+2ax
,
令t=ax,則g(x)=2t+
1
t
,記h(t)=2t+
1
t
(
1
a2
≤t<1)
h(t)=2t+
1
t
≥2
2
,當(dāng)且僅當(dāng)2t=
1
t
t=
2
2
時等號成立,
(i)
1
a2
2
2
,即a≥
42
時,結(jié)合①知g(x)min=2
2
與a無關(guān);
(ii)
1
a2
2
2
,即1<a<
42
時,h′(t)=2-
1
t2
≥2-a4>0
,∴h(t)在[
1
a2
,1)
上是增函數(shù),g(x)min=h(t)min=h(
1
a2
)=a2+
2
a2
<3
,
結(jié)合①知g(x)min=a2+
2
a2
與a有關(guān);
綜上,若g(x)的最小值與a無關(guān),則實數(shù)a的取值范圍是a≥
42

(3)①2
2
<m≤3
時,關(guān)于x的方程f(x)=m的解集為{x|x=loga
m2-8
2
}
;
②m>3時,關(guān)于x的方程f(x)=m的解集為{x|x=loga
m+
m2-8
2
x=loga
3
m
}
點評:(1)去絕對值符號的兩種常用方法:
①絕對值定義法:|x|=
x  x≥0
-x x<0

②要去絕對值式子兩端同時平方.
(2)使用均值不等式的條件:
①一正(a,b都是正數(shù));
②二定(若求a+b則ab是定值,若求ab則a+b是定值);
③三等.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時不等式取“=”).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點;
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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