Question

已知：如圖，P是⊙O的直徑AB延長線上的一點，割線PCD交⊙O于C、D兩點，弦DF與直線AB垂直，H為垂足，CF與AB交于點E．
（1）求證：PA•PB=PO•PE；
（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半徑等于2，求弦CF的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：

分析：（1）根據(jù)切割線定理，PD•PC=PA•PB，所以原題可轉(zhuǎn)化為證明PO•PE=PD•PC，即證△DPO∽△EPC，從而找出比例線段，得到等積式；
（2）由圖可知，CF=CE+EF，而由垂徑定理可知DE=EF，所以只要求出DE和CE即可，欲求CE，可通過證明△DHO∽△DEC，運用比例線段進行求解，至于DE，則根據(jù)題中給出的已知條件可說明三角形DHE為等腰直角三角形，而DH和HE則可通過勾股定理求出，從而求出CF的值．

解答： （1）證明：連接OD．
∵AB是⊙O的直徑，且DF⊥AB于D點H，
∴

AD

=

AF

=

1

2

DF

．∴∠AOD=∠DCF．∴∠POD=∠PCE．
∵∠DPO=∠EPC，∴△DPO∽△EPC．
∴

PD

PE

=

PO

PC

．即PO•PE=PD•PC．
又PD•PC=PA•PB，∴PA•PB=PO•PE．
（2）解：由（1）知：AB是弦DF的垂直平分線，
∴DE=EF．∴∠DEA=∠FEA．
∵DE⊥CF，∴∠DEA=∠FEA=45°．∴∠FEA=∠CEP=45°．
∵∠P=15°，∴∠AOD=60°．
在Rt△DHO中∵∠AOD=60°，OD=2，
∴OH=1，DH=

3

．
∵△DHE是等腰直角三角形，∴DE=

6

．
又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，
∴△DHO∽△DEC．
∴

DH

DE

=

HO

EC

，∴

3

6

=

1

EC

．∴EC=

2

．
∴CF=CE+EF=CE+DE=

2

+

6

．

點評：此題考查比較全面，相似三角形的判定和判定、勾股定理、以及垂徑定理，難易程度適中．