Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，SA⊥面ABC，且SA=3，AB=AC=4．
（1）求SC與平面SAB所成角的余弦值；
（2）試判斷△SBC的形狀，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,三角形的形狀判斷

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理，得到AC⊥面SAB，則∠CSA則為SC與平面SAB所成角．求∠CSA的大小可以通過解直角三角形知識求解；
（2）要判定△SBC的形狀，可通過解直角三角形，計(jì)算SB，SC，BC，再由解三角形的知識，即可判斷．

解答： 解：（1）由∠BAC=90°，則AB⊥AC，
SA⊥面ABC，則SA⊥AC，
又AB∩SA=A，則有AC⊥面SAB，
則∠CSA則為SC與平面SAB所成角．
在直角△ACS中，AS=3，AC=4，SC=5，
則cos∠CSA=

3

5

，
故SC與平面SAB所成角的余弦值

3

5

；
（2）△SBC為等腰三角形或銳角三角形．
由于SA⊥面ABC，
則SA⊥AB，則有SB=SC=5，
在直角△ABC中，BC=4

2

，
cos∠CSB=

52+52-(4 2 )2

2×5×5

＞0，
則∠CSB為銳角三角形，
故三角形SBC為等腰三角形或銳角三角形．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：線面垂直的判定和性質(zhì)定理，線面夾角的轉(zhuǎn)化，解直角三角形，屬于中檔題．