Question

8．如圖所示，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)，沿海岸線一直線公路以100千米/小時(shí)的速度向東勻速行駛，汽車開(kāi)動(dòng)時(shí)，在距O點(diǎn)500千米，且與海岸線距離400千米的海面上M點(diǎn)處有一艘快艇與汽車同時(shí)出發(fā)，要把一件重要物品送給這輛汽車司機(jī)，該快艇至少以多大的速度行駛，才能將物品送到司機(jī)手中？并求出此時(shí)快艇行駛的方向．（參考數(shù)據(jù)：cos60°25′=$\frac{2}{5}$，cos53°08′=$\frac{3}{5}$，cos36°52′=$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 設(shè)快艇從M處以v千米/小時(shí)的速度出發(fā)，沿MN方向航行，1小時(shí)后在N點(diǎn)與汽車相遇，MQ為M點(diǎn)到ON的距離，設(shè)∠MON=α，由余弦定理，求出MN²=OM²+ON²-2OM•ON•cosα，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，得到結(jié)果即可．

解答 解：如圖所示，設(shè)快艇從M處以v千米/小時(shí)的速度出發(fā)，沿MN方向航行，1小時(shí)后在N點(diǎn)與汽車相遇，MQ為M點(diǎn)到ON的距離，則MQ=400，在△MON中，MO=500，ON=100t，MN=vt，
設(shè)∠MON=α，由題意知$sinα=\frac{4}{5}$，則$cosα=\frac{3}{5}$，…（2分）
由余弦定理，得MN²=OM²+ON²-2OM•ON•cosα，
即${v^2}{t^2}={500^2}+{100^2}{t^2}-2×500×100t×\frac{3}{5}$，…（4分）${v^2}=\frac{{{{500}^2}}}{t^2}-2×500×60×\frac{1}{t}+{100^2}={（\frac{500}{t}-60）^2}+{100^2}-{60^2}$…（6分）
當(dāng)$\frac{500}{t}=60$，即$t=\frac{25}{3}$時(shí)，$v_{min}^2=6400$即快艇必須至少以80千米/小時(shí)速度行駛，
此時(shí)$MN=80×\frac{25}{3}=\frac{2000}{3}$，…（9分）
設(shè)∠NMQ=β，則$cosβ=\frac{MQ}{MN}=\frac{400}{2000}=-\frac{3}{5}$，…（11分）
故快艇的行駛方向北偏東53°08'…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，余弦定理以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．