【答案】
分析:(Ⅰ)已知S
n求a
n的問題可以利用
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182534390817659/SYS201310241825343908176018_DA/0.png)
進(jìn)行求解,能合并就合并,從而求出數(shù)列{a
n}的通項公式;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)求得 b
n=n•2
n,是由一個等差數(shù)列與一等比數(shù)列的乘積,可利用錯位相減法進(jìn)行求和,再S
n的等式兩邊同時乘以公比,然后進(jìn)行作差即可求出數(shù)列{b
n}的前n項和S
n;
(III))把(Ⅰ)求得的結(jié)果代入,通過對c
n進(jìn)行放縮,達(dá)到求和的目的,從而證明了不等式的右邊;要證不等式的左邊,構(gòu)造函數(shù)f(x)=2
x-x
2,求導(dǎo),借助于該函數(shù)的單調(diào)性證明該不等式的左邊,從而證明結(jié)論正確.
解答:解:(I)當(dāng)n≥2時,
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當(dāng)n=1時,a
1=1成立,故
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(II)b
n=n•2
n
S
n=1•2
1+2•2
2+3•2
3+…+n•2
n①
2S
n=1•2
2+2•2
3+3•2
4+…+(n-1)•2
n+n•2
n+1②
由①-②得,-S
n=2
1+2
2+2
3++2
n-n•2
n+1
=
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故S
n=(n-1)•2
n+1+2
(III)證明:
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令f(x)=2
x-x
2
f′(x)=2
xln2-2x,又
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故f′′(x)=2
x(ln2)
2-2≥f′′(5)>0
故f′(x)在[5,+∞)上單調(diào)遞增,故f′(x)≥f′(5)>0
故f(x)在[5,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)≥f(5)=7>0
故當(dāng)n>4時,2
n>n
2恒成立,即
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故
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又
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故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182534390817659/SYS201310241825343908176018_DA/9.png)
綜上可得,
點評:此題是難題.考查學(xué)生根據(jù)數(shù)列遞推公式求數(shù)列的通項公式并利用錯位相減法求和,以及把不能求和的數(shù)列問題通過放縮的方法達(dá)到求和的目的.特別是問題(III)的設(shè)問形式,構(gòu)造函數(shù),借助于函數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列不等式,是高考的熱點,也是難點,注意體會.