Question

在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝2，AA₁＝a，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點.

（1）若AC₁⊥D₁F，求a的值；
（2）若a＝2，求二面角E－FD₁－D的余弦值.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）首先建立空間直角坐標(biāo)系，列出各對應(yīng)點坐標(biāo)，表示對應(yīng)向量坐標(biāo)，(－2，2，a)，(0，1，－a)，再根據(jù)空間向量數(shù)量積定義，得到2－a²＝0，從而求出a的值，（2）先判斷二面角E－FD₁－D為銳二面角，所以求二面角E－FD₁－D的余弦值，就轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量夾角的余弦值的絕對值.又平面FD₁D的一個法向量為,所以關(guān)鍵求平面EFD₁的一個法向量n＝(x，y，z)，利用 n⊥，n⊥可求出x＝y(tǒng)＝2z，取其一個法向量為n＝(2，2，1)，再利用空間向量夾角公式，就可得到二面角E－FD₁－D的余弦值.
試題解析：解 如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA所在直線為x軸，

DC所在直線為y軸，DD₁所在直線為z軸，建立坐標(biāo)系．
（1）由題意得A(2，0，0)，D₁(0，0，a)，C₁(0，2，a)，F(xiàn)(0，1，0)．
故 (－2，2，a)， (0，1，－a)．    2分
因為AC₁⊥D₁F，所以，即(－2，2，a)·(0，1，－a)＝0．
從而2－a²＝0，又a＞0，故．                       5分
（2）平面FD₁D的一個法向量為m＝(1，0，0)．  設(shè)平面EFD₁的一個法向量為n＝(x，y，z)，
因為E(1，0，0)，a＝2，故＝(－1，1，0)，(0，1，－2)．
由n⊥，n⊥，得－x＋y＝0且y－2z＝0，解得x＝y(tǒng)＝2z．
故平面EFD₁的一個法向量為n＝(2，2，1)．              8分
因為，且二面角E－FD₁－D的大小為銳角，
所以二面角E－FD₁－D的余弦值為．                   10分