Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABEF為直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2． （Ⅰ）求證：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E為直二面角，
（ i）求直線AC與平面CDE所成角的大小；
（ ii）棱DE上是否存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結(jié)BD，設(shè)AC∩BD=O， 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以O(shè)為BD中點(diǎn)．
設(shè)G為DE的中點(diǎn)，連結(jié)OG，F(xiàn)G，
則OG∥BE，且 ．
由已知AF∥BE，且 ，所以AF∥OG，OG=AF．
所以四邊形AOGF為平行四邊形．
所以AO∥FG，即AC∥FG．
因?yàn)锳C平面DEF，F(xiàn)G平面DEF，
所以AC∥平面DEF．
解：（Ⅱ）（i）由已知，AF∥BE，AB⊥BE，所以AF⊥AB．
因?yàn)槎�面角D﹣AB﹣E為直二面角，所以平面ABCD⊥平面ABEF．
所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AD，AF⊥AB．
四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD．所以AD，AB，AF兩兩垂直．
以A為原點(diǎn)，AD，AB，AF分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．
因?yàn)锳B=BE=2AF=2，
所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2），F(xiàn)（0，0，1），
所以 ．
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），
由 得 即
取x=1，得n=（1，0，1）．
設(shè)直線AC與平面CDE所成角為θ，
則 ，
因?yàn)?≤θ≤90°，所以θ=30°．
即直線AC與平面CDE所成角的大小為30°．
（ii）假設(shè)棱DE上存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF．
設(shè) ，則 ．
設(shè)P（x，y，z），則 ，
因?yàn)? ，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．
所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣2λ，2λ，2λ）．
因?yàn)锽（0，2，0），所以 ．
又 ，
所以 ，解得 ．
因?yàn)? ，所以DE上存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF，且 ．
（另解）假設(shè)棱DE上存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF．
設(shè) ，則 ．
設(shè)P（x，y，z），則 ，
因?yàn)? ，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．
所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣2λ，2λ，2λ）．
因?yàn)锽（0，2，0），所以 ．
設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為 =（x0 ， y0 ， z0），
則 ，由 ，得
取x0=1，得 =（1，﹣1，2）．
由 ，即（2﹣2λ，2λ﹣2，2λ）=μ（1，﹣1，2），
可得 解得 ．
因?yàn)? ，所以DE上存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF，且 ．…（14分）


【解析】（Ⅰ）連結(jié)BD，設(shè)AC∩BD=O，設(shè)G為DE的中點(diǎn)，連結(jié)OG，F(xiàn)G，推導(dǎo)出四邊形AOGF為平行四邊形，從而AC∥FG，由此能證明AC∥平面DEF． （Ⅱ）（i）以A為原點(diǎn)，AD，AB，AF分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AC與平面CDE所成角的大�。�（ii）假設(shè)棱DE上存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF．設(shè) ，則 ．設(shè)P（x，y，z），求出P點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣2λ，2λ，2λ），從而 ．由此能求出DE上存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF，且 ． （另解）假設(shè)棱DE上存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF．設(shè) ，則 ．設(shè)P（x，y，z），求出平面DEF的一個(gè)法向量，由此能求出DE上存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF，且 ．
【考點(diǎn)精析】利用空間角的異面直線所成的角對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．