Question

19．若函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+sin²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的圖象與直線y=m（m為常數(shù)）相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列．
（1）求f（x）的表達(dá)式及m的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若直線x=x₀是函數(shù)g（x）的圖象一條對稱軸，求f（x₀）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及輔助角公式，求得f（x）的解析式，由T=π，即可求得ω的值，由正弦函數(shù)圖象即可求得m的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象變換，求得y=g（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸，求得2x₀=kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），代入即可求得f（x₀）得值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+sin²ωx-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$，
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
由題意可知：T=π，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由正弦函數(shù)圖象可知：m=±1，
（2）y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$，y=g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]=sin2x，
直線x=x₀是函數(shù)g（x）的圖象一條對稱軸，
∴2x₀=kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），
x₀=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，
f（x₀）=sin（kπ+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$）=sin（kπ+$\frac{π}{3}$），（k∈Z），
f（x₀）=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)圖象變換，考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．