（2013•嘉興一模）若
a
，
b
是兩個(gè)非零向量，且|
a
|=|
b
|=λ|
a
+
b
|，λ∈[
3
3
，1]，則
b
與
a
-
b
的夾角的取值范圍是
[
π
3
，
5π
6
）
[
π
3
，
5π
6
）
．
分析：不妨設(shè)|
a
+
b
|=1，則|
a
|=|
b
|=λ．令
OA
=
a
，
OB
=
b
，以O(shè)A、OB為臨邊作平行四邊形OACB，則平行四邊形OACB
為菱形．故有∠OAB=∠OBA=θ，
b
與
a
-
b
的夾角，即
OB
與
BA
的夾角，等于π-θ，且0＜θ＜
π
2
．△OAC中，由
余弦定理解得 cos2θ=1-
1
2λ2
．再由
3
3
≤λ≤1求得cos2θ的范圍，從而求得θ的范圍，即可得到
b
與
a
-
b
的
夾角的取值范圍．
解答：解：∵|
a
|=|
b
|=λ|
a
+
b
|，λ∈[
3
3
，1]，
不妨設(shè)|
a
+
b
|=1，則|
a
|=|
b
|=λ．
令
OA
=
a
，
OB
=
b
，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，
則平行四邊形OACB為菱形．
故有△OAB為等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，
且0＜θ＜
π
2
．
而由題意可得，
b
與
a
-
b
的夾角，即
OB
與 
BA
的夾角，
等于π-θ．
△OAC中，由余弦定理可得 OC2=1=OA2+AC2-2OA•AC•cos2θ=λ2+λ2-2•λ•λcos2θ，
解得 cos2θ=1-
1
2λ2
．
再由
3
3
≤λ≤1，可得
1
2
≤
1
2λ2
≤
3
2
，∴-
1
2
≤cos2θ≤
1
2
，∴
π
3
＜2θ≤
2π
3
，∴
π
6
＜θ≤
π
3
，
故
π
3
≤π-θ＜
5π
6
，即
b
與
a
-
b
的夾角π-θ的取值范圍是[
π
3
，
5π
6
）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的加減法及其幾何意義，余弦定理以及不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•嘉興一模）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=
2
，AD=BD：EC丄底面ABCD，F(xiàn)D丄底面ABCD 且有EC=FD=2．
（Ⅰ）求證：AD丄BF；
（Ⅱ）若線段EC的中點(diǎn)為M，求直線AM與平面ABEF所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•嘉興一模）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1=1，a2a4=16，則|a1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•嘉興一模）已知a，b∈R，ab≠O，則“a＞0，b＞0”是“
a+b
2
≥
ab
”的（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•嘉興一模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
π
6
π
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•嘉興一模）已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-(2a+2)x+(2a+1)lnx
（I ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）對(duì)任意的a∈[
3
2
，
5
2
]，x1，x2∈[1，2]，恒有|f(x1)|-f(x2)≤λ|
1
x1
-
1
x2
|，求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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