Question

15．已知向量$\overrightarrow a=（{1，2}），\overrightarrow b=（cosα，sinα）$，設(shè)$\overrightarrow m=\overrightarrow a+t\overrightarrow b$（t為實(shí)數(shù)）．
（1）若α=$\frac{π}{4}$，求當(dāng)$|{\overrightarrow m}|$取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t的值； 
（2）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)t，使得向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$和向量$\overrightarrow m$夾角的余弦值為$\frac{2}{3}$，若存在，請(qǐng)求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）α=$\frac{π}{4}$，可得$\overrightarrow$=$（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得：|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{{t^2}+3\sqrt{2}t+5}$=$\sqrt{{{（{t+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）}^2}+\frac{1}{2}}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）存在實(shí)數(shù)t滿足條件，理由如下：$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，由條件得$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow|}$=$\frac{2}{3}$，分別計(jì)算$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{6}$，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{t}^{2}{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{5+{t^2}}$，代入即可得出．

解答 解：（1）α=$\frac{π}{4}$，∴$\overrightarrow$=$（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
則|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{{t^2}+3\sqrt{2}t+5}$=$\sqrt{{{（{t+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）}^2}+\frac{1}{2}}$，…（4分）
所以當(dāng)t=$-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，|m|取到最小值，最小值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（6分）
（2）存在實(shí)數(shù)t滿足條件，理由如下：$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．
由條件得$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow|}$=$\frac{2}{3}$，…（7分）
又因?yàn)?|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{5-0+1}$=$\sqrt{6}$，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{t}^{2}{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{5+{t^2}}$，
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-t${\overrightarrow}^{2}$=5-t，∴$\frac{5-t}{{\sqrt{6}×\sqrt{5+{t^2}}}}$=$\frac{2}{3}$，且t＜5，整理得t²+6t-7=0，所以存在t=1或t=-7滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．