Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲線y=f（x）在點x=e²處的切線與直線x-2y+e=0平行．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$f（x）-ax在（1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{{k{x^2}}}{x-1}$無零點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=e²處的導數(shù)，由導數(shù)值等于$\frac{1}{2}$求得m值，得到$f（x）=\frac{2x}{lnx}$，進一步求得$g（x）=\frac{x}{lnx}-ax$，利用函數(shù)g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，可得$g'（x）=-a+\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}≤0$在（1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)a，得$a≥\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}$．利用配方法求得右邊的最大值可得實數(shù)a的最小值；
（Ⅱ） 由題可得$F（x）=f（x）-\frac{{k{x^2}}}{x-1}=x（\frac{2}{lnx}-\frac{kx}{x-1}）$，且定義域為（0，1）∪（1，+∞），若函數(shù)F（x）無零點，即$\frac{2}{lnx}=\frac{kx}{x-1}$在定義域內(nèi)無解，構(gòu)造函數(shù)$h（x）=lnx-\frac{2（x-1）}{x}$，得$h'（x）=\frac{kx-2}{x^2}$，分當k≤0和k＞0分類分析得答案．

解答 解：（Ⅰ） 由$f'（x）=\frac{m（lnx-1）}{{{{ln}^2}x}}$，得$f'（{e^2}）=\frac{m}{4}=\frac{1}{2}$，解得m=2，
故$f（x）=\frac{2x}{lnx}$，則$g（x）=\frac{x}{lnx}-ax$，函數(shù)g（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），
而$g'（x）=-a+\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}$，又函數(shù)g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴$g'（x）=-a+\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}≤0$在（1，+∞）上恒成立，
∴當x∈（1，+∞）時，$a≥\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}$的最大值．
而$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}=-（\frac{1}{lnx}）^{2}+\frac{1}{lnx}=-（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}≤\frac{1}{4}$，即右邊的最大值為$\frac{1}{4}$，
∴$a≥\frac{1}{4}$，故實數(shù)a的最小值$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ） 由題可得$F（x）=f（x）-\frac{{k{x^2}}}{x-1}=x（\frac{2}{lnx}-\frac{kx}{x-1}）$，且定義域為（0，1）∪（1，+∞），
要使函數(shù)F（x）無零點，即$\frac{2}{lnx}=\frac{kx}{x-1}$在（0，1）∪（1，+∞）內(nèi)無解，
亦即$klnx-\frac{2（x-1）}{x}=0$在（0，1）∪（1，+∞）內(nèi)無解．
構(gòu)造函數(shù)$h（x）=lnx-\frac{2（x-1）}{x}$，則$h'（x）=\frac{kx-2}{x^2}$，
（1）當k≤0時，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）內(nèi)恒成立，
∴函數(shù)h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)也單調(diào)遞減．
又h（1）=0，∴當x∈（0，1）時，h（x）＞0，即函數(shù)h（x）在（0，1）內(nèi)無零點，
同理，當x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，即函數(shù)h（x）在（1，+∞）內(nèi)無零點，
故k≤0滿足條件；
（2）當k＞0時，$h'（x）=\frac{kx-2}{x^2}=\frac{{k（x-\frac{2}{k}）}}{x^2}$．
①若0＜k＜2，則函數(shù)h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在$（1，\frac{2}{k}）$內(nèi)也單調(diào)遞減，在$（\frac{2}{k}，+∞）$內(nèi)單調(diào)遞增．
又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）內(nèi)無零點；
又$h（\frac{2}{k}）＜h（1）=0$，而$h（{e^{\frac{2}{k}}}）=k×\frac{2}{k}-2+\frac{2}{{{e^{\frac{2}{k}}}}}＞0$，故在$（\frac{2}{k}，+∞）$內(nèi)有一個零點，∴0＜k＜2不滿足條件；
②若k=2，則函數(shù)h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
又h（1）=0，∴當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，h（x）＞0恒成立，故無零點．∴k=2滿足條件；
③若k＞2，則函數(shù)h（x）在$（0，\frac{2}{k}）$內(nèi)單調(diào)遞減，在$（\frac{2}{k}，1）$內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)也單調(diào)遞增．
又h（1）=0，∴在$（\frac{2}{k}，1）$及（1，+∞）內(nèi)均無零點．
易知$h（\frac{2}{k}）＜h（1）=0$，又h（e^-k）=k×（-k）-2+2e^k=2e^k-k²-2=ϕ（k），
則ϕ'（k）=2（e^k-k）＞0，則ϕ（k）在k＞2為增函數(shù)，∴ϕ（k）＞ϕ（2）=2e²-6＞0．
故函數(shù)h（x）在$（0，\frac{2}{k}）$內(nèi)有一零點，k＞2不滿足．
綜上：k≤0或k=2．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了函數(shù)零點的判定方法，著重考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬難度較大的題目．