如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（1）求O點到面ABC的距離；
（2）求二面角E-AB-C的正弦值．
考點：用空間向量求平面間的夾角,點、線、面間的距離計算
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：通過以O(shè)為原點，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．利用點O到面ABC的距離公式d=
|
n
•
OA
|
|
n
|
，兩個平面的法向量夾角公式cos＜
n
，
m
＞=
n
•
m
|
n
| |
m
|
即可得出．．
解答： 解：（1）以O(shè)為原點，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
則A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
∴
AB
=(2，0，-1)，
AC
=(0，2，-1)．
設(shè)平面ABC的法向量為
n
=(x，y，z)，
則
n
•
AB
=2x-z=0
n
•
AC
=2y-z=0
，令x=1，則z=2，y=1，∴
n
=(1，1，2)．
∴點O到面ABC的距離d=
|
n
•
OA
|
|
n
|
=
2
1+1+22
=
6
3
．
（2）
EB
=（2，-1，0）．
設(shè)平面EAB的法向量為
m
=(a，b，c)，則
m
•
EB
=2a-b=0
m
•
AB
=2a-c=0
，
令a=1，得b=c=2，∴
m
=(1，2，2)．
由（1）知平面ABC的法向量
n
=(1，1，2)．
cos＜
n
，
m
＞=
n
•
m
|
n
| |
m
|
=
1+2+4
6
•
9
=
7
6
18
．
∴sin＜
n
，
m
＞=
1-cos2＜
n
，
m
＞
=
30
18
．
結(jié)合圖形可知，二面角E-AB-C的正弦值是
30
18
．
點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系，利用點O到面ABC的距離公式d=
|
n
•
OA
|
|
n
|
求點到直線的距離，兩個平面的法向量夾角公式cos＜
n
，
m
＞=
n
•
m
|
n
| |
m
|
求二面角等是解題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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某工程隊有5項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后立即進 行那么安排這5項工程的不同排法種數(shù)是
 
．（用數(shù)字作答）

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2x-y≥0
x+y-4≥0
x≤3
，則
2x3+y3
x2y
的取值范圍是
 
．

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x=cosα
y=1+sinα
（α為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）則直線l與圓C的交點的極坐標為
 
．
（2）已知f（x）=|x|+|x-1|，若g（x）=f（x）-a的零點個數(shù)不為0，則a的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=10x與函數(shù)y=x+2的圖象的交點個數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4sinθ•x-1，x∈[-1，
3
]，其中θ∈[0，2π]
（1）當θ=
π
6
時，求函數(shù)f（x）的最大最小值；
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-1，
3
]上存在反函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(
1
2
，
2
2
)，則f（2）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

是否存在平移向量
a
，使得由y=
2
sinx的圖象平移
a
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a
；若不存在，說明理由．

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