Question

已知A（-2，4），B（2，8）是直線y=x+6上兩點，若線段AB與橢圓

x2

a2

+

y2

a2-4

=1有公共點，則正數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立

y=x+6 x2 a2 + y2 a2-4 =1

，化為（2a²-4）x²+12a²x+40a²-a⁴=0，令△=0，及a²＞4，解得x=-

10

3

．由于-

10

3

＜-2＜2．可得：切點在線段AB之外．因此把A（-2，4），B（2，8）分別代入橢圓的標準方程即可得出．

解答： 解：聯(lián)立

y=x+6 x2 a2 + y2 a2-4 =1

，化為（2a²-4）x²+12a²x+40a²-a⁴=0，（*）
令△=0，及a²＞4，解得a²=20．
方程（*）（3x+10）²=0，解得x=-

10

3

．
∵-

10

3

＜-2＜2．
∴切點在線段AB之外．
因此把A（-2，4）代入橢圓方程可得

4

a2

+

16

a2-4

=1，及a²＞4，解得a=2

2

+2．
把B（2，8）代入橢圓方程可得

4

a2

+

64

a2-4

=1，及a²＞4，解得a=2

5

+4．
由于線段AB與橢圓

x2

a2

+

y2

a2-4

=1有公共點，因此正數(shù)a的取值范圍是[2

2

+2，4+2

5

]．
故答案為：[2

2

+2，4+2

5

]．

點評：本題考查了直線及其點與橢圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．