Question

【題目】已知點F為橢圓的右焦點，點A為橢圓的右頂點.

（1）求過點F、A且和直線相切的圓C的方程；

（2）過點F任作一條不與軸重合的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與直線相交于點M，N.試證明：以線段MN為直徑的圓恒過點F.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

由已知可得，即可求出其中垂線,即可得出半徑為7,即可求出圓心坐標(biāo).即可寫出圓C的方程.

以線段MN為直徑的圓恒過點等價于,討論直線的斜率是否存在，寫出直線，聯(lián)立解出P、Q,結(jié)合寫出直線,即可得到點M，N，結(jié)合，即可說明.

（1）由已知得：

圓C的圓心一定在線段AF中垂線上

由圓C與直線相切，得：圓C的半徑

設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為，則有：

，

即圓心

圓C的方程為：

（2）證明：當(dāng)直線斜率不存在時，其方程為,

聯(lián)立,解得，又因為.

所以直線為.

可求得M,N兩點坐標(biāo)分別為或，又

的斜率之積為：

.

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：

聯(lián)立方程組：，

消去整理得：

又設(shè)

由P,A,M共線得：，

由Q,A,N共線得：，

所以FM,FN的斜率之積為：

綜上可知：恒有

以線段MN為直徑的圓恒過點F.